Художник превратил абстрактную математику в фантастические 3D-скульптуры

«Мысленно склеив края двух лент Мёбиуса, – говорит Генри Сегерман, – можно получить бутылку Клейна, которая также имеет одну поверхность. Здесь мы видим бутылку Клейна, полученную из лент Мёбиуса с круглым краем. Вернее, то, как она может выглядеть в трехмерном пространстве. Раз исходные "круглые" ленты Мёбиуса уходят в бесконечность, то такая бутылка Клейна будет продолжаться в бесконечность дважды и сама себя пересечет, что видно на скульптуре». Увеличенная копия этой скульптуры украшает факультет математики и статистики Мельбурнского университета.

«Я родился в семье ученых, и думаю, что мой интерес ко всему, что требует развитого пространственного мышления, связан именно с этим», — говорит Генри. Сегодня он — уже выпускник магистратуры Оксфордского и докторантуры Стэнфордского университетов, занимает должность младшего профессора в Университете Оклахомы. Но успешная научная карьера — лишь одна сторона его многогранной личности: еще более 12 лет назад математик начал устраивать художественные акции... в виртуальном мире Second Life. Этот трехмерный симулятор с элементами социальной сети тогда был весьма популярен, позволяя пользователям не только общаться друг с другом, но и обустраивать свои виртуальные «аватарки» и зоны для развлечений, работы и т. д.

Сегерман пришел сюда, вооружившись формулами и числами, и обустроил свой виртуальный мир на математический лад, наполнив его невиданными фрактальными фигурами, спиралями и даже тессерактами, четырехмерными гиперкубами. «Получилась такая проекция четырехмерного гиперкуба в трехмерной вселенной Second Life — которая сама по себе является проекцией трехмерного виртуального мира на двумерный, плоский экран», — замечает художник.

Непрерывная линия заполняет пространство куба, ни разу не прерываясь и не пересекаясь сама с собой. Кривые Гильберта представляют собой фрактальные структуры, и если увеличить масштаб, можно увидеть, что части этой кривой повторяют форму целого. «Я тысячи раз видел их на иллюстрациях и компьютерных моделях, но, когда впервые взял такую 3D-скульптуру в руки, сразу заметил, что она еще и пружинит, – говорит Сегерман. – Физические воплощения математических концепций всегда чем-нибудь да удивляют».

Однако работать с материальными скульптурами ему понравилось куда больше. «Вокруг нас постоянно циркулируют огромные объемы информации, — говорит Сегерман. — К счастью, реальный мир обладает очень большой пропускной способностью, которая в Сети пока недостижима. Дайте человеку готовую вещь, целостную форму — и он воспримет ее сразу во всей ее сложности, не дожидаясь загрузки». Так что начиная с 2009 года Сегерман создал чуть больше сотни скульптур, и каждая из них — наглядное и, насколько возможно, точное физическое воплощение абстрактных математических концепций и законов.

Эволюция художественных экспериментов Сегермана с 3D-печатью странным образом повторяет эволюцию математических идей. Среди его первых опытов — классические платоновы тела, набор из пяти симметричных фигур, сложенных правильными треугольниками, пятиугольниками и квадратами. За ними последовали полуправильные многогранники — 13 архимедовых тел, грани которых образованы неодинаковыми правильными многоугольниками.

Созданная в 1994 году трехмерная модель. Сложенная из почти 70 000 треугольников, она служит простым и популярным тестом эффективности программных алгоритмов. Например, на кролике можно проверить эффективность сжатия данных или сглаживания поверхности для компьютерной графики. Поэтому для специалистов эта форма – все равно что фраза «Съешь еще этих мягких французских булок» для любителя поиграться с компьютерными шрифтами. Скульптура «Стэнфордский кролик» – это та же модель, поверхность которой «замощена» буквами слова «кролик» (bunny).

Уже эти простейшие формы, перекочевав с двумерных иллюстраций и идеального мира воображения в трехмерную реальность, вызывают внутреннее восхищение их лаконичной и совершенной красотой. «Связь математической красоты с красотой визуальных или звуковых произведений искусства мне кажется очень зыбкой. В конце концов, много людей остро чувствуют одну форму этой красоты, совершенно не понимая другой. Математические идеи можно транслировать в зримые или звучащие формы, но не все, и далеко не так легко, как может показаться», — добавляет Сегерман.

Вскоре за классическими фигурами последовали все более и более сложные формы, вплоть до таких, о которых вряд ли могли помыслить Архимед или Пифагор — правильных многогранников, без промежутка заполняющих гиперболическое пространство Лобачевского. Такие фигуры с невероятными названиями вроде «тетраэдральные соты порядка 6» или «шестиугольные мозаичные соты» невозможно представить в воображении, не имея под рукой наглядной картинки. Или — одной из скульптур Сегермана, которые представляют их в привычном нам трехмерном евклидовом пространстве.

Сложенные правильными треугольниками тетраэдр, октаэдр и икосаэдр, а также состоящий из квадратов куб и икосаэдр на основе пятиугольников. Сам Платон связывал их с четырьмя стихиями: «гладкие» октаэдрические частицы, по его представлениям, складывали воздух, «текучие» икосаэдры – воду, «плотные» кубы – землю, а острые и «колючие» третраэдры – огонь. Пятый элемент, додекаэдр, философ считал частицей мира идей.

Работа художника начинается с 3D-модели, которую он выстраивает в профессиональном пакете Rhinoceros. По большому счету, этим она и заканчивается: само производство скульптур, распечатку модели на 3D-принтере, Генри просто заказывает через Shapeways, большое онлайн-сообщество энтузиастов трехмерной печати, и получает готовый объект из пластика или металломатричного композита на основе стали и бронзы. «Это очень легко, — говорит он. — Просто загружаешь модель на сайт, нажимаешь кнопку "Добавить в корзину", оформляешь заказ — и через пару недель тебе доставляют его почтой».

Представьте, что вы завязали узел внутри твердого тела, а потом удалили его; оставшаяся полость называется дополнением узла. На этой модели показано дополнение одного из самых простых узлов, восьмерки.

В конечном итоге эволюция математических скульптур Сегермана заводит нас в сложную и завораживающую область топологии. Этот раздел математики изучает свойства и деформации плоских поверхностей и пространств разной размерности, и для него важны их более широкие характеристики, чем для классической геометрии. Куб здесь можно легко, как пластилин, превратить в шар, а чашку с ручкой скатать в бублик, не нарушив в них ничего важного — известный пример, который нашел воплощение в изящной «Топологической шутке» Сегермана.

Четырехмерный куб: подобно тому как квадрат можно получить смещением отрезка перпендикулярно ему на равное его длине расстояние, куб можно получить аналогичным копированием квадрата в трех измерениях, а сдвинув куб в четвертом, мы «нарисуем» тессеракт, или гиперкуб. У него будет 16 вершин и 24 грани, проекции которых на наше трехмерное пространство выглядят мало похожими на обычный трехмерный куб.

«В математике очень важно эстетическое чувство, математики любят "красивые" теоремы, — рассуждает художник. — Трудно определить, в чем именно состоит эта красота, как, впрочем, и в других случаях. Но я бы сказал, что красота теоремы — в простоте, которая позволяет что-то понять, увидеть какие-то простые связи, прежде казавшиеся невероятно сложными. В основе математической красоты может лежать чистый, эффективный минимализм — и удивленный возглас: "Ага!"". Глубокая красота математики может пугать, как ледяная вечность дворца Снежной королевы. Однако вся эта холодная гармония неизменно отражает внутреннюю упорядоченность и закономерность той Вселенной, в которой мы живем. Математика — лишь язык, который безошибочно соответствует этому изящному и сложному миру. Парадоксально, но в нем находятся физические соответствия и приложения для почти любого высказывания на языке математических формул и отношений. Даже самым абстрактным и "искусственным" построениям рано или поздно находится приложение в реальном мире.

С определенной точки зрения поверхности кружки и бублика «одинаковы», точнее говоря – гомеоморфны, поскольку способны переходить одна в другую без разрывов и склеек, за счет постепенной деформации.

Евклидова геометрия стала отражением классического стационарного мира, дифференциальное исчисление пригодилось ньютоновской физике. Невероятная риманова метрика, как оказалось, необходима для описания нестабильной Вселенной Эйнштейна, а многомерные гиперболические пространства нашли применение в теории струн. В этом странном соответствии абстрактных выкладок и чисел основаниям нашей реальности, возможно, и кроется секрет той красоты, которую мы обязательно чувствуем за всеми холодными расчетами математиков.